НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА · №16, 1993.

 

РУЧКА + ЛИНЕЙКА = ?

 

 

 

 

 

 


Мы провели такой «эксперимент»: просили взрослых людей с высшим техническим образованием показать на трех предметах (ручке, линейке, ластике) сущность формулы А+В=С. Многие эту формулу реализовали так: они линейку обозначали буквой А, ручку - буквой В, ластик - буквой С, прикладывали их друг к другу в соответствующей последовательности (А+В=С) и с некоторым недоумением спрашивали: «А что здесь такого сложного?». Когда им говорилось: "Имеете ли в виду, что ручка и линейка вместе составляют ластик?», они приходили в длительное и тяжелое замешате­льство. Суть их ошибки состояла в том, что они не понимают, что формула обозначает не объекты, а сущностные отношения.

Для того чтобы выполнить это задание, необходимо выделить суть данной формулы, а именно: две части вместе составляют целое. В данном случае целым являются ручка, линейка и ластик вместе взятые. Кроме того, формулы такого рода часто воспринимаются как нечто показывающее некоторую структуру, тогда как они демонстрируют процесс, т.е. при выпол­нение этой формулы происходит «исчезновение» А и В, и появляется некоторое С.

Точно так же при «реализации» формулы А-В=С формула показывает процесс, последова­тельность операций, а не структуру. В этом смысле А-В=С не подразумевает одновременное существование всех трех компонентов, хотя эта мысль напрашивается, когда мы смотрим на эту формулу как на изображение некоторой структуры. На деле формула показывает процесс уничтожения А и превращения его в С.

Положа руку на сердце, признайтесь, что и вы не сразу выполнили задание с ручкой, линейкой и ластиком, ведь для того чтобы выполнить подобное действие, нужно понимать саму сущность математических операций (сложения, вычитания и т.д.), а не только эти операции осуществлять. В школе же мы все годы только осуществляем эти операции, но, как правило, никто нам никогда не объясняет их сущность.

В нашей же школе существует закон: дети должны понимать то, что они делают, а не только уметь это делать. Соответственно, я, обучая детей сложению и вычитанию, стараюсь обучать их пониманию сущности этих операций. Ребенок начинает понимать на уровне действия суть математических операций, тем самым «вживаясь» в категорию «часть - целое», так как в категорию можно только «вжиться».

Моя работа делится на три этапа. Первый этап: когда целое является однородным недискретным, второй этап, более сложный: целое есть однородное дискретное, третий этап: целое - неоднородное дискретное. Такая логика является оправданной, так как в своей работе я опираюсь на систему В.В.Давыдова, С.Ф.Горбова и других, где с самого начального этапа обучения математике дети привыкают иметь дело в основном с недискретными величинами, поэтому дискретные логично вводить на более поздних этапах.

Каждый этап состоит из нескольких шагов.

 

 

I. Первый этап.

Каждому первокласснику я даю по два куска пластилина разного цвета и прошу положить их на парте как можно дальше друг от друга.

Шаг 1. Детям дается задание реализовать на пластилине формулу А+В=С и сказать, что они обозначили буквами А, В и С. Эта задача у них не вызывает затруднения, так как к этому времени мы уже с ними осваиваем буквенное обозначение величин, и дети знают, что знак «+» в формуле обозначает увеличение исходной величины, а знак «-» - уменьшение.

Все дети, как правило, легко справляются с выполнением задания, взяв два данных кусочка и соединяя в один.

Шаг 2. У учащихся опять два разноцветных куска пластилина на парте. Теперь им требуется показать формулу Т-Е=М (по Давыдову, для обозначения величин мы используем русские буквы).

Это задание очень ценно тем, что дети здесь могут предложить разные способы решения поставленной задачи. А как бы вы, уважаемый читатель, выполнили это задание? Первоклас­сники обычно предлагают такие решения:

1) за Т, т.е. за целое, принимают вес куска пластилина одного цвета (у нас дети не пользуются понятием величина в «чистом виде», поскольку мы требуем от них расчленения этого родового понятия на видовые: величина веса, объема, длины, площади, количества и т.д.) и от него отщипывают кусочек, считая пластилин другого цвета «избыточными данными» в задаче;

2) за целое обозначают вес обоих кусков, но далее поступают по-разному, а именно: либо физически соединяют куски, т.е. делая A+В=Т, а затем только осуществляют Т-Е=М, т.е. отщипывают от получившегося в результате большого куска маленький, либо (это делают только самые продвинутые дети) мысленно объединяя оба лежащих на столе куска в одно целое, отщипывают от одного из них кусочек, тем  самым реализовывая формулу Т- Е=М.

Если в классе таких детей не оказалось, то роль смышленого ученика выполняет куратор класса либо же сам учитель.

Поскольку данное задание имеет много правильных решений, мне кажется, все их сле­дует обсудить с детьми, чтобы развивать у них альтернативность мышления. Так, наряду уже с вышесказанным по поводу величины Т следует обсудить вариативность величины Е, а именно: за Е можно принять либо вес кусочка, полученного при отщипывании от одного из цветных кусков, либо вес одного из данных кусков, либо вес всего пластилина, кроме маленького кусочка одного из цветных кусков.

Далее при «реализации» формул на вычитание на всех последующих шагах мы договариваемся с детьми считать за целое один из цветных кусков пластилина.

Шаг 3. Шаги 1 и 2 как бы являются его составными частями.

Ученикам требуется «реализовать» две формулы подряд.

А-В=С

М+С=Н

Здесь детям требуется выполнить уже два действия, а именно: от одного из данных кусков отщипнуть часть весом В, а оставшуюся часть весом С соединить с нетронутым куском другого цвета.

Шаг 4. Детям требуется «реализовать» следующие формулы:

К-Л=А

Л-О=Д

Этот шаг является самым сложным на первом этапе, так как ребенку приходится совершать много действий во внутреннем плане:

1)  выбрать кусок, на котором будет «реализована» первая формула;

2)  решить, какой кусок отщипнуть, а какой оставить;

3) обозначить их величины соответственно буквами Л и А;

4)  не забыть, что с куском весом Л нужно произвести операцию, указанную в формуле

Л-О=Д.

Самым продвинутым детям на этом этапе можно предложить «нерешаемую» задачу, а именно: опредметить («реализовать») формулы:

А+В=С

С+М=Н.

Решение возможно лишь при первоначальном разделении одного из данных кусков на две части (С - А = В), но по условию такой формулы нет.

Ребенок, который поймет, что задача нерешаемая, и прекратит попытки ее решить, будет прав с точки зрения математики, но не осуществит того, что мы называем творческим подходом. Ребенок, который решит эту задачу путем разделения одного из данных кусков на две части, осуществит акт творчества, но математически будет не прав. Хвалить вам первого или второго - решайте сами.

 

II. Второй этап.

Детям предлагаются однородные предметы: кучка спичек или скрепок, можно дать кусочек сахара.

Шаг 1. «Реализовать» на этих предметах формулу А+В=С.

В этом шаге ребенок в первый раз открыто сталкивается с дискретностью.

Те дети, которые поняли, что две части составляют некоторое целое, сравнительно легко выполняют это задание.

Если ребенок делает ошибки, подобные ошибкам взрослого в начале статьи, то нужно попробовать «подвести» ребенка к решению задачи при помощи вопросов, позволяющих ему осмыслить то, что делает («Что ты принимаешь за А?..»).

Шаг 2. Он является как бы «закреплением» шага 1. Требуется «реализовать» формулу

С-А=В.

Если ребенок усвоил первый шаг, то шаг 2 не представляет для него трудности. В ином случае первый и второй шаги нужно дать комплексно, показав обратимость этих операций.

Шаг 3. Детей просят разделить кучку двумя способами:

1) А=С+Д

2) А-Е+К

В этом шаге главное, чтобы ученики поняли, что одно целое может состоять из разных частей.

Шаг 4. «Реализовать» формулу С+Д=Е+К.

Сложность этого задания для ребенка заключается в том, что:

1) в одной формуле содержится два действия;

2) раньше всегда было очевидно, что принять за целое, здесь же целое как бы скрыто.

Шаг 5. А-В=М+Н. Это самое сложное задание на втором этапе. Оно как бы является синтезом шагов 2 и 3.

 

111. Третий этап.

Детям предлагается взять любые три разнородных предмета.

Шаг 1. «Реализовать» на этих предметах формулу А+В=С.

Шаг 2. К-М=Л.

Для следующих шагов ученики используют все предметы, находящиеся на парте.

Шаг 3. «Реализовать» формулу С+М-К=Д, используя все предметы на парте.

Сложность данного задания заключается в том, что ребенок не должен с самого начала рассматривать лежащие перед ним предметы как некоторое целое, а должен видеть в них сначала две совершенно раздельные части с величинами С и М.

Шаг 4. «Реализовать» формулу Ф-У+О=Р, используя все предметы на парте.

Здесь за целое, т.е. за Ф, дети должны принять лишь некоторое количество предметов, лежащих на парте, отделить от него произвольное количество У, а ту часть предметов, лежащих на парте, которая не входила в Ф, принять за О и присоединить к тому, что осталось при отделении от Ф.

Сложность данного задания заключается в том, что все количество предметов на парте ни разу, в отличие от шага 3, не выступает в роли целого, так как иначе решение задачи содержит не два действия, а три (третьим действием будет действие по отделению от У произвольной части для получения О).

Для того чтобы ребенок полностью понял сущность формулы, необходимо демонстриро­вать действие формулы не только на предметах, но и на схеме. Например, формулы

А=С+Д

А=Е+К

наглядно демонстрируются на следующих схемах:

- откладываются два отрезка длиной А один под другим,

- каждый отрезок делится на две части, причем разбиения должны быть нетождественными,

- длины частей первого отрезка обозначают буквами С и Д, а второго - соответственно Е и К.

Эти схемы наглядно показывают возможность разделения одного и того же целого на части двумя разными способами, о чем и «говорится» в данных двух формулах.

Аналогичным образом осуществляется схематизация каждого шага.

Возможно, у вас возникнет вопрос: «Как добиться того, чтобы все дети в классе усвоили материал, ведь наверняка в классе найдутся ученики, для которых задания, приведенные в данной работе, будут вызывать большие затруднения?»

Как показывает опыт, объяснение учителем решения задачи у доски имеет слабый эффект, так как после такого объяснения дети либо не могут воспроизвести решение задачи вообще, либо воспроизводят его формально, не понимая того, что и зачем они делают.

Вы скажете: «Осуществляйте индивидуаль­ный подход, дорогой учитель!» Но сразу тогда возникает вопрос: «Как это сделать, если учитель в классе один, а учеников много?»

Очень удобно, по-моему, в этом случае осуществлять консультирование между детьми, а именно: ученик («консультант»), справившийся с заданием, объясняет своему «подопечному» решение задачи, а потом задает опрашивающие вопросы (т.е. те вопросы, на которые нельзя дать ответ без понимания), затем (если в классе еще имелись пары «консультант - ученик») он экзаменует чужого «подопечного», выступая тем самым в роли «экзаменатора государственной комиссии».

Такая форма позволяет, во-первых, добиться у всех учеников в классе понимания того, как решать такие задачи, а во-вторых, развивает у учащихся умение консультировать, рефлексиро­вать и задавать вопросы.

Если в классе много «слабых» учеников, то работу, описанную в данной статье, следует предварить следующей работой: учитель или один из учеников совершает некоторое действие, дети же должны зафиксировать это действие при помощи знаков. Например, когда один из первоклассников отрезает часть веревки, то другие ученики должны записать у себя в тетрадях формулу А-В=С и «расшифровать», что означают буквы.

Описанный в данной статье способ работы, на наш взгляд, обеспечивает понимание ребенком самой сути математических операций сложения и вычитания, тем самым развивая умение выделять сущность вещей и явлений, а кроме того, развивая гибкость и альтернативность мышления, умение рассуждать и аргумен­тированно защищать свою точку зрения, осуществлять действие не только во внешнем, но и во внутреннем плане, моделировать, рефлексировать над способом своего действия.

 

Анастасия ИЛЬЯСОВА,

учитель математики Новой гуманитарной школы


 

 

 

 

 

 


 






Rambler's Top100 Рейтинг@Mail.ru Яндекс цитирования